Теоремы
Ролля и Лагранжа
Лемма. Если f’(s)>0, то
функция f(x) в точке s растущая.
Аналогично для
отрицательной производной. Следствие. В экстремуме гладкая
функция имеет нулевую производную.
Теорема Ролля. Пусть f(x) – гладкая
(дифференцируемая) функция на отрезке
[a,b], и f(a)=f(b). Тогда . Док.
Во-первых, на интервале
существует точка локального максимума или
минимума, или функция –
константа. В точке локального экстремума
производная (по лемме)
нулевая. А производная константы равна нулю
везде. Физическая интерпретация. Машина ехала по дороге и вернулась – хотя бы в один момент времени скорость равнялась
нулю.
Теорема Лагранжа. Пусть f(x) – гладкая
(дифференцируемая) функция на
отрезке [a,b]. Тогда . Док. Рассмотрим
вспомогательную функцию h(x)=
и применим к ней т.Ролля.
